Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-Hwarizmi

(780 - 850)
Leben und Islamische Mathematik
Werke
Algebra
Literatur
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Lebensdaten

Geboren etwa 780 in Bagdad etwa zur Zeit der Machtübernahme durch Harun al-Rasid, den 5. Kalifen der Abbasiden-Dynastie, den wir aus "1001 Nacht" kennen.
Alle biographische Angaben über al-Hwarizmi sind unsicher. Wahrscheinlich war er ein gläubiger Moslem. al-Hwarizmi starb etwa 850.

Charakterisierung der Mathematik in den Ländern des Islam

al-Hwarizmi gehört zur ersten Phase der islamischen Mathematik, in der das griechische und orientalische (indische, mesopotamische) Erbe aufgenommen wurde. Es entstanden zahlreiche Übersetzungen, insbesondere aus dem Griechischen.
Die islamische Mathematik verband die Wissenschaftlichkeit der Griechen mit der Rechenpraxis der Inder und entwickelte später - 10. bis 15. Jahrhundert - eine numerische Mathematik, die zahlreiche Näherungsmethoden für Astronomie und Algebra kannte.

Werke

Überlieferung

Algebra

 
  Genauer Titel: 
  Deutsch:
al-Kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wa-l-muqabala 
Kurzes Buch über das Rechnen der Algebra und Almuqabala

al-gabr und al-muqabala sind zunächst nur Fachausdrücke für algebraische Oberationen. al-gabr wurde aber schon bald - als pars pro toto - für die Gesamte Gleichungslehre verwendet. Bereits al-Hayyam (1048-1131) sprach von den "Lösungsverfahren der Algbera".
Die eigentlichen Bedeutungen der technischen Termini sind:
al-gabr: "Rückversetzen" eines Gliedes an seinen rechten Platz, ursprünglich ein medizinischer Fachausdruck
al-muqabala: "Bilanzieren" = Tilgung gleicher Glieder auf beiden Seiten.
Beispiel: (zitiert nach Juschkewitsch S. 205. Bei al-Hwarizmi rein verbal)

Gliederung der Algebra

Intensionen der Algebra:

Lehre vom Auflösen quadratischer und linearer Gleichungen.

Klassifikation

Lösungsregeln

    "Halbiere die Wurzel; das gibt fünf; 
    multipliziere dies mit sich selbst, und du erhältst fünfundzwanzig; 
    Ziehe davon die einundzwanzig ab, die dem Quadrat hinzugefügt sind; 
    es verbleiben vier; 
    ziehe hieraus die Wurzel - das ergibt zwei, 
    ziehe dies von der Hälfte der Wurzel ab, d.h. von fünf, es verbleiben drei; 
    dies ist die Wurzel des Quadrats, das du suchst, und das Quadrat ist neun. 
    Falls du willst, addiere dies zur Hälfte der Wurzeln, das gibt sieben, und das ist die Wurzel des Quadrats, das du suchst, und das Quadrat ist neunundvierzig.". 
10/2 = 5 
52 = 25 
25 - 21 
= 4 
Wurzel(4) = 2 
5 - 2  = 3 
x = 3, x2 = 9 
5 + 2 = 7 
x = 7, x2 = 49 
allgemein: x = p/2 - Wurzel((p/2)2-q) 
x = p/2 + Wurzel((p/2)2-q)
    "Wisse ferner, daß die Aufgabe nicht möglich ist, wenn du in diesem Kapitel die Wurzel halbierst und mit sich selbst multiplizierst und das Produkt kleiner ist als die dirham (Zahlen auf der rechten Seite), die dem Quadrat hinzugefügt sind; 
    ist jedoch die dirham gleich, 
    so ist die Wurzel des Quadrats gleich der Hälfte der Wurzel, ohne daß man etwas hinzufügt oder abzieht." 
    zitiert nach Juschkewitsch, S. 207
(p/2)2 < q 
d.h. Diskriminante = (p/2)2 -q < 0 
(p/2)2 = q 
x = p/2 

Geometrische Beweise

Beweis für x2 + 10x = 39.
Der Beweis geht zwar von diesem Zahlenbeispiel aus, die Argumentation ist aber allgemeingültig, so wie auch die Lösungsregeln allgemein sind.







al-Hwarizmi beginnt mit dem großen Quadrat (rechts oben), es entspricht x2. Daran werden zwei Rechtecke mit je 5x angelegt, eines links und eines unten. 
Damit hat man x2 + 10x dargestellt. 
Um diese Figur zum Quadrat zu machen, muß das Quadrat unten links mit dem Inhalt 25 angefügt werden. 
Man hat jetzt ein Quadrat der Seitenlänge x+5 

Auf der rechten Seite muß ebenfalls 25 hinzugefügt werden, man erhält 39+25=64=82

Die Quadratseite ist also 8, also 

x+5 = 8 und x = 8 - 5 = 3 

 

Quellen von a-Hwarizmi:

Arithmetik

 Lateinischer Text, deutsche Übersetzung und Kommentar der Arithmetik in Folkerts.

Literatur


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